Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Урок 30

Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин.

Обладнання: стереометричний набір, схема “Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою” (с. 116).

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Колективне обговорення розв’язування задачі № 10.

2. Математичний диктант.

Дано зображення куба: варіант 1 – рис. 151, варіант 2 – рис. 152.

Користуючись

зображенням, запишіть:

1) площину, яка проходить через точку М прямої AM і перпендикулярна до неї; (2 бали)

2) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D; (2 бали)

3) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N; (2 бали)

4) площину, яка перпендикулярна до прямої BD; (2 бали)

5) прямі, які перпендикулярні до площини АМС; (2 бали)

6) площини, які перпендикулярні до прямої DC. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ACМ); 5) BD і KN; 6) (ADK) і (BCL).

Варіант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) і (ADM).

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Властивості

прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 1.

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай а1 || а2 і a1?. Доведемо, що?А2 (рис. 153). Точки А1 і А2 – точки перетину а1 і а2 з площиною?.

У площині? через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 – пряму х1 таку, що х1 || х2. Оскільки a1 || а2, x1 || х2 і а1Х1, то за теоремою 3.1 а2Х2. Оскільки х2 вибрана довільно в площині?, то а2?.

Теорема 2.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то дані прямі паралельні.

Доведення

Нехай a?, b?. Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що аB. Тоді через точку С прямої b проведемо b1 , паралельну а. Оскільки а?, то і b1? за доведеною теоремою, а за умовою b?. Якщо точки А і В – точки перетину прямих b1 і b з площиною?, то з припущення випливає, що в трикутнику A = В = 90°, що не може бути. Отже, а || b.

1. Визначте вид чотирикутника AA1B1B якщо:

А) АА1?; АА1 || ВВ1; А?, В?; AA1 ? ВВ1 (рис. 155);

Б) АА1?; ВВ1?; А?, В? (рис. 156);

В) А?; В?; АА1?; ВВ1?; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

2. Задача № 12 із підручника (с. 35).

3. Задача № 13 із підручника (с. 35).

4. Задача № 16 із підручника (с. 35).

Теорема 3.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Нехай? || ?, а?. Доведемо, що??. (рис. 157). Нехай точки А і В – точки перетину прямої а з площинами? і?. В площині? проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину?, яка перетинає? по прямій с, причому с || b. Оскільки а?, то аС (за означенням прямої, перпендикулярної до площини). Оскільки аС, b || с і а, b, с лежать в?, то аB. Враховуючи, що b – довільна пряма площини?, маємо а?.

Теорема 4.

Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні.

Нехай?А, ?А, доведемо, що? || ? (рис. 158). Нехай точки А і В – точки перетину прямої а з площинами? і?. Припустимо, що? ?. Візьмемо точку С на прямій перетину площин? і?. СА, бо в противному випадку через точку С проходили б дві різні площини? і?, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину? через точку С і пряму а, ця площина перетинає? і? по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки а?, то аАС, аналогічно аВС. Отже, в площині? через точку С проходять дві різні прямі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, ? || ?.