Кут між мимобіжними прямими

Урок 53

Тема. Кут між мимобіжними прямими

Мета уроку: формування поняття кута між мимобіжними прямими, а також вмінь учнів знаходити кути між мимобіжними прямими.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба, тетраедра, прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

II. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення і виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Введемо поняття кута між прямими в просторі.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути (по­парно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90°.

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°. Слід зазначити, що кут між прямими – це не геометрична фігура, це – величина.

Розв’язування вправ

1. ABCDA1B1С1D1 – куб. Знайдіть кут між прямими:

А) АВ1 і AD1; б) АВ1 і AD; в) АВ1 і АВ; г) АС і AC1.

(Відповідь: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) arcsin Кут між мимобіжними прямими)

2. Прямі а і b перетинаються під кутом 30° , а прямі а і с – під кутом 60° . Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с? (Відповідь. Так)

3. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а, AD = b, АА1 = с. Знайдіть кут між прямими:

А) А1В і АВ; б) A1D і AD; в) BD і АВ; г) ВА1 і DA1.

(Відповідь, a) arctg Кут між мимобіжними прямими; б) arctgКут між мимобіжними прямими; в) arctg Кут між мимобіжними прямими; г) arccos Кут між мимобіжними прямими)

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між пря­мими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіж­ним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90°, називаються перпендикулярними.

1. Покажіть перпендикулярні мимобіжні прямі в оточенні.

2. Дано зображення куба (рис. 275). Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b.

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Рис. 275

(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°)

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АВ1Кут між мимобіжними прямимиCD1.

4. Пряма SA перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SA і ВС. (Відповідь. 90°)

5. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що KM

title="Кут між мимобіжними прямими" alt="Кут між мимобіжними прямими" />АВ. Знайдіть довжину відрізка KM.

(Відповідь. Кут між мимобіжними прямими)

6. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналлю грані куба і діагоналлю куба.

Знайдемо кут між діагоналлю ВD1 куба і діагоналлю DC1 грані куба (рис. 276). Добудуємо до даного куба куб ADMNA1D1M1N1 (рис. 277), тоді кут між прямими BD1 і DC1 дорівнює куту між прямими BD1 і D1M. Нехай АВ = а; тоді D1M = Кут між мимобіжними прямимиА, AD1 = Кут між мимобіжними прямимиA, ВМ = Кут між мимобіжними прямимиА.

Кут між мимобіжними прямими

Із? BD1M маємо:

ВМ2 = DB2 + D1M2 – 2AD1 – D1M cosBD1M, або

5а2 = 2а2 + 3а2 – 2Кут між мимобіжними прямимиА – Кут між мимобіжними прямимиA cos BD1M;

5а2 = 5а2 – 2Кут між мимобіжними прямимиА2 cos <BD1M;

2Кут між мимобіжними прямимиА2 cos <BD1M = 0;

Cos <BD1M = 0;

<BD1M = arccos 0 = 90°.

Відповідь. 90°.

Кут між мимобіжними прямими

7. Довести, що кут між мимобіжними прямими не залежить від вибо­ру прямих, що перетинаються.

Враховуючи означення кута між мимобіжними прямими, можна дати узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини, ознаки пе­рпендикулярності прямої і площини, теореми про три перпендикуляри.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпе­ндикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпен­дикулярна до площини.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції по­хилої на цю площину, перпендикулярна і до похилої. І навпа­ки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

1. Задача № 30 із підручника (с. 56).

2. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини. Довести.

3. Задача № 33 із підручника (с. 56).

4. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АС1Кут між мимобіжними прямимиBD.

5. ABCD – ромб (рис. 278), пряма SO пер­пендикулярна до площини АВС. Дове­діть, що SCКут між мимобіжними прямимиBD.

Кут між мимобіжними прямими

6. SABC – трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. Доведіть, що SAКут між мимобіжними прямимиВС.

§4, п. 31; контрольне запитання № 14; задача № 32 (с. 56).

Запитання до класу

1) Що називається кутом між мимобіжними прямими?

2) Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються?

3) Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.

4) Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини.

5) Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Кут між мимобіжними прямими