Кут між мимобіжними прямими


Урок 53

Тема. Кут між мимобіжними прямими

Мета уроку: формування поняття кута між мимобіжними прямими, а також вмінь учнів знаходити кути між мимобіжними прямими.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба, тетраедра, прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

II. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення і виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення


нового матеріалу

Введемо поняття кута між прямими в просторі.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути (по­парно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90°.

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°. Слід зазначити, що кут між прямими – це не геометрична фігура, це – величина.

Розв’язування вправ

1. ABCDA1B1С1D1 – куб. Знайдіть кут між прямими:

А) АВ1 і AD1; б) АВ1 і AD; в) АВ1 і АВ; г) АС і AC1.

(Відповідь: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) arcsin Кут між мимобіжними прямими)

2. Прямі а і b перетинаються під кутом 30° , а прямі а і с – під кутом 60° . Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с? (Відповідь. Так)

3. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а, AD = b, АА1 = с. Знайдіть кут між прямими:

А) А1В і АВ; б) A1D і AD; в) BD і АВ; г) ВА1 і DA1.

(Відповідь, a) arctg Кут між мимобіжними прямими; б) arctgКут між мимобіжними прямими; в) arctg Кут між мимобіжними прямими; г) arccos Кут між мимобіжними прямими)

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між пря­мими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіж­ним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90°, називаються перпендикулярними.

1. Покажіть перпендикулярні мимобіжні прямі в оточенні.

2. Дано зображення куба (рис. 275). Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b.

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Рис. 275

(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°)

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АВ1Кут між мимобіжними прямимиCD1.

4. Пряма SA перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SA і ВС. (Відповідь. 90°)

5. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що KMКут між мимобіжними прямимиАВ. Знайдіть довжину відрізка KM.

(Відповідь. Кут між мимобіжними прямими)

6. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналлю грані куба і діагоналлю куба.

Знайдемо кут між діагоналлю ВD1 куба і діагоналлю DC1 грані куба (рис. 276). Добудуємо до даного куба куб ADMNA1D1M1N1 (рис. 277), тоді кут між прямими BD1 і DC1 дорівнює куту між прямими BD1 і D1M. Нехай АВ = а; тоді D1M = Кут між мимобіжними прямимиА, AD1 = Кут між мимобіжними прямимиA, ВМ = Кут між мимобіжними прямимиА.

Кут між мимобіжними прямими

Із? BD1M маємо:

ВМ2 = DB2 + D1M2 – 2AD1 – D1M cosBD1M, або

5а2 = 2а2 + 3а2 – 2Кут між мимобіжними прямимиА – Кут між мимобіжними прямимиA cos BD1M;

5а2 = 5а2 – 2Кут між мимобіжними прямимиА2 cos <BD1M;

2Кут між мимобіжними прямимиА2 cos <BD1M = 0;

Cos <BD1M = 0;

<BD1M = arccos 0 = 90°.

Відповідь. 90°.

Кут між мимобіжними прямими

7. Довести, що кут між мимобіжними прямими не залежить від вибо­ру прямих, що перетинаються.

Враховуючи означення кута між мимобіжними прямими, можна дати узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини, ознаки пе­рпендикулярності прямої і площини, теореми про три перпендикуляри.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпе­ндикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпен­дикулярна до площини.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції по­хилої на цю площину, перпендикулярна і до похилої. І навпа­ки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

1. Задача № 30 із підручника (с. 56).

2. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини. Довести.

3. Задача № 33 із підручника (с. 56).

4. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АС1Кут між мимобіжними прямимиBD.

5. ABCD – ромб (рис. 278), пряма SO пер­пендикулярна до площини АВС. Дове­діть, що SCКут між мимобіжними прямимиBD.

Кут між мимобіжними прямими

6. SABC – трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. Доведіть, що SAКут між мимобіжними прямимиВС.

§4, п. 31; контрольне запитання № 14; задача № 32 (с. 56).

Запитання до класу

1) Що називається кутом між мимобіжними прямими?

2) Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються?

3) Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.

4) Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини.

5) Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри.



1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Обмін речовин та енергії в клітині.
Ви зараз читаєте: Кут між мимобіжними прямими